Gaußsche Glockenkurve beim Lotto: Wir haben den „mittleren Bereich“ an 1.430 Powerball-Ziehungen getestet

In Spielerforen und in mancher Bezahl-Software liest man oft: Die Summe der gezogenen Zahlen folgt einer Glockenkurve, also soll man Tipps spielen, deren Summe in der Mitte liegt, dort, wo 75 bis 80 % der Ziehungen landen. Wir haben das mit allen Powerball-Ziehungen seit der Regeländerung vom 7. Oktober 2015 geprüft und einen Backtest gemacht.

Zwei Kurven, die man nicht verwechseln darf

Beim Powerball werden 5 aus 69 Zahlen und ein Powerball aus 26 gezogen. Einzeln betrachtet bilden die Zahlen keine Glocke: Jede sollte in 1.430 Ziehungen im Schnitt 104-mal kommen, die echten Werte liegen zwischen 79 und 128. Der Chi-Quadrat-Test ergibt p = 19 %: Das sind normale Zufallsschwankungen.

Die Summe der 5 Zahlen bildet dagegen eine Glocke. Die Summe 15 (1+2+3+4+5) entsteht nur auf eine Weise, die Summe 175 auf Zehntausende Arten. Von den 11.238.513 möglichen Kombinationen haben 78,06 % eine Summe zwischen 119 und 226. In den echten Ziehungen lagen 77,6 % in diesem Bereich: genau das, was das bloße Zählen der Kombinationen vorhersagt.

In der Statistik beschreibt man eine Glocke mit dem Mittelwert μ und der Standardabweichung σ; hier ist μ = 175 und σ = 43,2. Bei einer exakten Normalverteilung liegen 68 % der Werte zwischen μ − σ und μ + σ, 95 % zwischen μ ± 2σ und 99,7 % zwischen μ ± 3σ. Die Powerball-Summen folgen dieser Regel fast genau: zwischen 132 und 218 (μ ± σ) 67,6 % der Kombinationen und 67,6 % der Ziehungen, zwischen 89 und 261 (μ ± 2σ) 95,7 % bzw. 96,0 %, zwischen 46 und 304 (μ ± 3σ) 99,9 % der Kombinationen und alle Ziehungen.

Warum die Glocke keinen Vorteil bringt

Die Glocke sagt, wie viele Kombinationen eine bestimmte Summe haben, nie welche gezogen wird. Ein Tipp mit Summe 175 hat genau dieselbe Jackpot-Chance wie ein Tipp mit Summe 15: 1 zu 292.201.338. Dass die Ziehung zu 78 % im mittleren Bereich liegt, kommt daher, dass dort 78 % aller möglichen Tipps liegen. Um diesen Bereich „abzudecken“, müsste man 78 % aller Tipps kaufen.

Wie bei zwei Würfeln: Eine Wette auf die Summe 5 bis 9 gewinnt in 2 von 3 Fällen, aber nur, weil 24 der 36 möglichen Würfe diese Summe ergeben. Man gewinnt öfter, und ein faires Spiel zahlt dafür entsprechend weniger.

Der Backtest

Wir haben die 1.430 Ziehungen vom 7. Oktober 2015 bis zum 7. November 2026 nachgespielt. In jeder Ziehung spielt jede Strategie 10 Tipps (20 $). Das Ganze wurde 300-mal wiederholt, um das Glück auszugleichen. Gewertet werden die festen Gewinne von 4 $ bis 1 Million Dollar, ohne Jackpot und ohne Power Play.

Ergebnis: Mittlerer Bereich und Randsummen liefern genau dasselbe, und alle Strategien bringen im Schnitt dieselbe Rückzahlung, passend zur Theorie (8,98 % bei den kleinen Gewinnen). Mit den Gewinnen von 50.000 $ und 1 Million steigt die theoretische Rückzahlung auf 16 %, aber diese Gewinne sind in 1.430 Ziehungen zu selten, um sie gut zu messen.

Was wirklich etwas ändert: der Aufbau der Tipps

Eine Sache verändert die Zahlen, und es ist nicht die Summe. Zehn Tipps ohne gemeinsame Zahl und mit zehn verschiedenen Powerballs bringen in 39,6 % der Ziehungen mindestens einen Gewinn, zehn zufällige Tipps in 33,5 %. Zehn Tipps mit 4 gemeinsamen Zahlen und demselben Powerball gewinnen dagegen nur in 4,8 % der Ziehungen, aber dann oft mehrfach gleichzeitig.

Der Durchschnitt bleibt gleich: Nur die Verteilung der Gewinne ändert sich, gleichmäßiger auf der einen Seite, riskanter auf der anderen. Genau das machen Systemscheine und „Wheels“: Sie verschieben das Risiko, sie schlagen die Wahrscheinlichkeit nicht.

Der einzige Hebel beim Geld: nicht teilen

Beim Powerball sind die kleinen Gewinne fest: Teilen spielt dort keine Rolle. Beim Jackpot erhält dagegen jeder Gewinner seinen Anteil. Eine Studie mit 5,1 Millionen Tipps (Wang et al., 2016) zeigt, dass Spieler vor allem Daten, Reihen und Muster wählen. Wer solche beliebten Tipps meidet, gewinnt nicht öfter, teilt aber seltener.

Was im Internet kursiert

In Foren wird der „mittlere Bereich“ als Methode vorgestellt, die „mit Filtern Gewinn bringt“, und eine Software verkauft ihn als „beste Strategie für die Wahl der Kombinationen“. Andere Arbeiten versprechen, die Zahlen mit Statistik oder KI vorherzusagen, etwa ein Preprint von 2024 zum südafrikanischen Lotto: Sein Modell trifft 2 richtige Zahlen alle 12 Ziehungen, ein zufälliger Tipp alle 8,3 Ziehungen. Der Mathematiker Marcus du Sautoy bringt es auf den Punkt: Die Folge 6 19 29 32 34 39, eine britische Ziehung von 2003, hat keine versteckte Regel; wer die folgende 46 erraten hätte, solle am nächsten Samstag spielen.

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